anii 1960, Mandelbrot a început să cerceteze autosimilaritatea în lucrări precum Cât de lungă este coasta Marii Britanii? Autosimilaritate statistică și dimensiune fracțională. În sfârșit, în 1975, Mandelbrot a inventat termenul "fractal" pentru a denumi un obiect al cărei dimensiune Hausdorff-Besicovitch este mai mare decât dimensiunea topologică a sa. A ilustrat această definiție matematică cu imagini construite pe calculator. Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deși această cerință nu este îndeplinită de curbele Hilbert). O clasă de exemple simple este dată de mulțimile Cantor, triunghiul și covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger, curba dragon, curba lui Peano și curba Koch. Alte exemple de fractali sunt fractalul lui Lyapunov și mulțimile limită ale grupurilor Kleiniene. Fractalii pot fi determiniști (toți cei anteriori) sau stocastici (adică nedeterminiști). De exemplu, traiectoriile mișcării browniene în plan au dimensiunea Hausdorff 2. Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei considerați ca fiind infinit complecși (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximează fractalii până la un anumit nivel se numără norii, lanțurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă și fulgii de zăpadă. Totuși, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reală (o linie dreaptă euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplinește celelalte caracteristici.

Ghid esențial în realizarea fractalilor | iDigit

N ( s ) = 1 s {\displaystyle N(s)={\frac {1}{s}}} pentru segment, N ( s ) = ( 1 s ) 2 {\displaystyle N(s)=\left({\frac {1}{s}}\right) Georg Cantor a dat, de asemenea, exemple de submulțimi ale axei reale cu proprietăți neobișnuite — aceste mulțimi Cantor sunt numite astăzi fractali.

un mod sugestiv se poate spune că dacă un obiect de o complexitate geometrică este privit de la o anumită distanță, apoi făcând un zoom este privit din nou și repetând procedeul la infinit, imaginea care se vede este aceeași.

FRACTAL definition and meaning | Collins English Dictionary

Chiar și la curbele simple se poate observa proprietatea de autosimilaritate. De exemplu, distribuția Pareto produce forme similare la diferite niveluri de grosisment. Istorie [ modificare | modificare sursă ] Pentru a crea un fulg Koch, se începe cu un triunghi echilateral și se înlocuiește treimea din mijloc de pe fiecare latură cu două segmente astfel încât să se formeze un nou triunhghi echilateral exterior. Apoi se execută aceiași pași pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. Cu fiecare iterație, perimetrul acestei figuri crește cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui număr infinit de execuții ale acestor pași, și are lungime infinită, în timp ce aria sa rămâne finită. De aceea, fulgul Koch și construcțiile similare sunt numite uneori "curbe monstru."a doua parte a secolului al XIX-lea și începutul secolului XX, anumiți matematicieni semnalează existența unor entități geometrice excepționale, fără nicio asemănare cu figurile și corpurile studiate până atunci. Apariția geometriilor neeuclidiene (ai căror fondatori au fost Lobacevski și Bolyai) a condus la o reconsiderare a vechilor teorii. Mandelbrot folosește termenul fractal în sensul de "neregulat", iar definiția pe care o formulează este: Acesta observă că forma unui munte nu este o piramidă sau un con, trunchiul îmbrăcat cu scoarță al unui copac nu este un cilindru perfect neted, norii nu sunt sfere. Așadar, în natură nu întâlnim forme geometrice simple, regulate, ci forme cu un grad înalt de complexitate și unicitate.

Fractal dimension - Wikipedia

Kolmogorov introduce conceptul de dimensiune de autosimilaritate ( de capacitate) în următorul mod: Exemple [ modificare | modificare sursă ] O mulțime Julia, un fractal înrudit cu mulțimea lui Mandelbrot Funcțiile iterate în planul complex au fost investigate la sfârșitul secolului 19 și începutul secolului 20 de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou și Gaston Julia. Totuși, fără ajutorul graficii pe calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumusețea numeroaselor obiecte pe care le descoepriseră. Din această observație s-a născut o nouă știință care studiază aceste forme complexe, știință ce poartă denumirea de geometrie fractală.Colocvial, un fractal este o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturală a întregului". [1] Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 și este derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat". Granița mulțimii lui Mandelbrot este un exemplu faimos de fractal. Altă imagine a mulțimii lui Mandelbrot. Sistemele haotice dinamice sunt uneori asociate cu fractalii. Obiectele din spațiul fazelor dintr-un sistem dinamic pot fi fractali (vezi atractor). Obiectele din spațiul parametrilor al unei familii de sisteme pot fi de asemenea fractali. Un exemplu interesant este mulțimea lui Mandelbrot. Această mulțime conține discuri întregi, deci are dimensiunea Hausdorff egală cu dimensiunea topologică (adică 2) — dar ceea ce este surprinzător este că granița mulțimii lui Mandelbrot are de asemenea dimensiunea Hausdorff 2 (în timp ce dimensiunea topologică este 1), un rezultat demonstrat de Mitsuhiro Shishikura în 1991. Un fractal foarte înrudit este mulțimea Julia. Cuvântul fractal provine din latinul fractuus, ce derivă din verbul frangere care înseamnă "a rupe", "a fragmenta", "a frânge".

Is the human mind made of fractals? | TechRadar

Matematica din spatele fractalilor a apărut în secolul 17, când filosoful Gottfried Leibniz a considerat autosimilaritatea recursivă (deși greșise gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare în acest sens). din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să-și explice anumite fenomene, prin intermediul unor modele, care la început au fost simpliste, dar aproximând natura. Așadar, din punct de vedere geometric, fractalul este un anasamblu ale cărui părți sunt într-o bună măsură identice cu întregul.

Cel care își dă seama că asemenea ciudățenii matematice nu constituie doar un exercițiu de imaginație și că se regăsesc în natură a fost Benoît Mandelbrot. a apărut o funcție al cărei grafic este considerat azi fractal, când Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcție cu proprietatea că este continuă, dar nediferențiabilă. În 1904, Helge von Koch, nesatisfăcut de definiția abstractă și analitică a lui Weierstrass, a dat o definiție geometrică a unei funcții similare, care se numește astăzi fulgul lui Koch. În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul și, un an mai târziu, covorul lui Sierpinski. La origine, acești fractali geometrici au fost descriși drept curbe în loc de forme bidimensionale, așa cum sunt cunoscute astăzi. Ideea de curbe autosimilare a fost preluată de Paul Pierre Lévy, care, în lucrarea sa Curbe și suprafețe în plan sau spațiu formate din parți similare întregului din 1938, a descris o nouă curbă fractal, curba C a lui Lévy.